Пункт 1. Доменное имя. Это действительно просто имя и это то самое, что вы вбиваете в строке браузера.
Далеко не всегда это имя или название компании имеет отношение к деятельности компании (хотя, конечно, это было бы очень неплохо).
Регистрацией имен занимаются специализированные компании, тут я не вижу вариантов обойтись своими силами. Имя сдается в аренду, а не приорбретается Вами навсегда. Хотя, наверное, бывают и такие сложные и дорогие варианты,
но я в них смысла не вижу. Стоимость варьируется и зависит от многих факторов. Я, например, хотел имя в зоне "ru" (то есть - оканчивающееся на ".ru"), обычно это 100-200 рублей в год. 
В других зонах цена может быть совсем другой. В международной "com" (сокращение от "commercial") или "forex", например, имя может стоить и несколько тысяч рублей в год, но если вам нужен междунавродный сайт, 
то этой статьёй (да собственно, и любой другой) вы уже не обойдётесь, я всё же пишу всего лишь ознакомительную популярную заметку. Случаются и акции, и скидки - всё, как в обычном магазине.
Доменное имя должно быть уникальным, вы не сумеете сосуществовать с полным тезкой. Правда, оно может быть очень похожим на другое имя, и понятное дело, самые звучные и короткие имена уже заняты.
И эти же компании, чаще всего, предоставляют сайтостроителям и другие услуги - и те, о которых ниже, и множество других, которые обычному человеку не важны и не нужны. И в некоторых случаях заняты, например, для перепродажи.
Проверить доступность имени можно на сервисе, который зовется whois, ссылки на него есть на сайте любого регистратора, например - https://www.nic.ru/whois/
В некоторых случаях, через этот же сервис можно связаться и с владельцем именни, если вам оно понравилось, но оказалось занято.

Краткий список компаний, занимающихся сайтостроением и вопросвами, свзянными с этим - чуть ниже, и есть 3 нюанса:
1. Этот список по определению не может быть полным и неизменным, компаний много, и региональных мелких, и крупных. к тому же этот список субъективен.
2. Многие зарубежные компании ушли с российского рынка и российские компании спешно пытаются посдстроиться под "хотелки" избалованных клиентов, привыкших к тому, как это было сделано "у них". Но это процесс не очень быстрый 
и требовать от них всё и сразу - просто бессмысленно, хотя и очень логично. Но это уже экономические и политические факторы.
3. Как и во мнгоих других областях, всегда есть философский вопрос - стоит ли держать все яйца в одной корзине. То есть - покупать  домен, хостинг, конструктор и, возможно, другие услуги в одной компании или - в разных.
У меня лично нет однозначного ответа, но я б выбрал вариант - в одной. Потому что если что-то не так работает или не работает вовсе - всегда понятно КОМУ задавать вопросы.
https://www.reg.ru/
https://www.nic.ru/
https://www.webnames.ru/
https://timeweb.com/ru/
https://craftum.com/

Два последних - находятся в некоторой (не очень понятной для меня в деталях) коллаборации.
И именно эти 2 последних для меня лично оказались не на высоте, что, впрочем, не говорит о том, что они совсем ужасны, тут скорее - "детская болезнь левизны". К тому же - у них есть свои группы сторонников, хотя иногда и не очень умных.
Но самое для меня неприятное - сами сотрудники разных отделов отвечают на вопросы в стиле "ВажноПониматьЧтоМыНеВиноваты", что для меня, как приверженца системного подхода во всём, неприемлимо.